Как мне выписаться вместе с сыном из муниципальной квартиры с сыном без свидетельства о рождения?

Всё это, бесполезные хлопоты. ребёнок однозначно получит свою долю при приватизации, вне зависимости, у кого из родителей он будет зарегистрирован (а если удастся "как-то" обнести его с долей, то по суду результат приватизации будет оспорен. например, самим этим чадом, когда ему исполнится 18 лет.)
далее - сама по себе регистрация не порождает никаких имущественных прав. так что, совершенно не имеет значения, у кого этот ребёнок будет зарегистрирован. долю собственности он же от этого не поимеет в квартире отца или матери.
далее - продать квартиру (после приватизации) можно будет только с в случае, если ребёнку будет куплено отдельное жильё (что бы именно он там собственником был). причём, не какой-то там сарай, а жильё, не хуже чем то, которое у него было.
далее - если, всё же, удастся обойти опеку, то опытный покупатель, сразу же просечёт, что квартира "не чистая" и от сделки откажется - ему-то зачем этот геморрой: в один распрекрасный день, сей повзрослевший мальчик отстоит своё право на долю в этой квартире, естественно, с правом там проживать и распоряжаться своей долей по своему усмотрению.