Объясните про прописку

Прописки сейчас нет, есть регистрация по месту жительства или месту пребывания. если у вашей бабушки квартира не приватизирована, т.е. она не является собственником квартиры, а является нанимателем муниципального жилого помещения по договору социального найма, то пусть приватизирует квартиру (приватизация продлена до 1 марта 2015 года, срок приватизации вместе с регистрацией права 1,5 - 2 месяца) и оформит на вас завещание или дарственную. тогда квартира останется за вами и вам не надо будет менять регистрацию. если вы хотите зарегистрироваться у своей бабушки в не приватизированной квартире, а несовершеннолетний ребёнок должен быть зарегистрирован по месту регистрации родителей, то и ребёнка надо туда регистрировать. тогда мать останется одна в квартире и если квартира не приватизирована, то также её надо будет приватизировать.