Могу ли я прописать постороннего человека на свою часть дома?

"прописки" нет уже много лет. а зарегистрировать ты можешь. вот, только потом, снять с регистрации и выселить будет очень даже непросто. максимум - временная регистрация и то, даже в этом случае, есть большая вероятность беготни по судам.

да, и ещё важный момент упустил - если у этого "товарища" есть несовершеннолетние дети, то их он зарегистрирует без всяких твоих разрешений. прав собственности они не приобретут, но право проживать и пользоваться всем помещением иметь будут.