Нужен ли военный билет при прописке на постоянное место жительства в другой город?

Нет! статья 6. регистрация гражданина российской федерации по месту жительства
при этом предъявляются:
паспорт или иной заменяющий его документ, удостоверяющий личность гражданина;
документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством российской федерации основанием для вселения в жилое помещение.

но!! ! статья 10. обязанности граждан по воинскому учету

1. в целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:
явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из российской федерации на срок более шести месяцев или въезде в российскую федерацию.