Как выписаться из одной квартиры и прописаться в другой?

Можно не выписываться. тебя сотрудники фмс сами выпишут. просто приходишь в отдел фмс по новому месту жительства или к паспортистке управляющей компании при себе паспорт и документ, подтверждающий право пользования квартирой (например, договор найма или свидетельство о госрегистрации права собственности). там пишешь заявление. через пару дней забираешь паспорт.