Я потерял паспорт РФ, подал заявление о выдаче нового, но старый нашёлся. Если я заявлю об этом, мне оставят старый?

В своем заявлении на выдачу нового паспорта вы собственноручно написали: "В случае обнаружения утерянного паспорта обязуюсь его вернуть" - и поставили подпись. Так что скорее всего ваш старый паспорт уже внесен в базу недействительных, и ничего с ним сделать вы не сможете.