Дает ли право регистрация иностранца через почту право проживания в квартире?

Это, очевидно, не "регистрация", а учет по месту пребывания. Он не является основанием для проживания, наоборот, если иностранец уже проживает, его нужно поставить на учет. Если принимающая сторона поставила иностранца на учет по адресу, где иностранец не проживает, это неправомерные действия и за это положен штраф (за указание ложной информации). А вот если пустили и поставили на учет - все правильно, а вопрос вселения разрешается с недовольными в гражданском порядке. А вот со вселением по вашему вопросу не очень понятно, вы мало данных привели. Кто собственник, кто иностранец, откуда он, кто его пустил, кто поставил на учет, и так далее.