Хочу временно прописаться в другой город. Что для этого нужно. Нужно ли выписываться из этого города.

При регистрации по месту пребывания (ну, нет в России временной прописки! И постоянной тоже нет!) сниматься с регистрационного учета по прежнему месту жительства не нужно. Штамп в паспорте о регистрации по месту жительства остается прежний, а к паспорту при оформлении регистрации по месту пребывания выдается ф. № 3 - свидетельство о регистрации по месту пребывания.