Могу ли я требовать прописать (зарегистрировать) новорожденного ребенка по месту своей прописки если я сама там не живу?

Извините, но вы используете совершенно неправильную терминологию, возможно что еще и поэтому у вас проблемы с регистрацией ребенка...
с точки зрения закона, квартира в ростове-на-дону, где вы "прописаны" (правильно - зарегистрированы по месту жительства) является местом вашего жительства, т. е. жил. помещением, где вы постоянно или преимущественно проживаете.
а ваше проживание в таганроге - это временное проживание в жил. помещении по месту пребывания.
и в соответствии с законодательством рф вам и для вселения своего ребенка по месту своего проживания (в квартире в ростове-на-дону), и для его регистрации по месту вашей регистрации (там же в ростове-на-дону) вам не требуется ни чье согласие - ни остальных проживающих в этой квартире, ни ее собственников.
а все ваши "объяснения" и паспортисткой и с начальницей "паспортного стола" (о том, что вы якобы "проживаете" в таганроге, а "прописывать" ребенка хотите здесь вам только вредят и дают повод запугивать вас назаконными штрафами.
на самом деле, по закону, документы на регистрацию по месту жительства любого гражданина рф, в т. ч. и ребенка, должны быть поданы не позднее 7-ми дней со дня прибытия к месту жительства, т. е. со дня вселения в жилое помещение, а вовсе не с даты прибытия в город или даты рождения ребенка ...
вот вы и должны стоять на том, что после родов ребенка и своего временного проживания с ним в другом городе у мужа (мамы, бабушки и вообще где угодно - свобода передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах рф предоставлена вам законом) вы буквально "вчера" вернулись в квартиру по месту своего жительства и законно вселили своего ребенка, а "сегодня" подаете документы на его "прописку", т. е. его регистрацию по месту вашего, а теперь и его места жительства.
а при любом отказе паспортистки и/или ее начальницы принять документы на регистрацию или требовании предварительно уплатить какой-то мифический штраф (а тем более при отказе зарегистрировать ребенка - вам прямая дорога в прокуратуру! о чем честно и предупредите их заранее!
тем более, что сейчас п. 5 ст. 19.15.2 коап рф специально для подобных паспортисток установлено, что "нарушение лицом, ответственным за прием и передачу в орган рег. учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета гражданина рф по месту пребывания и по месту жительства... установленных законодательством рф сроков представления в орган рег. учета документов для регистрации гражданрф ...влечет наложение административного штрафа в размере от 3-х до 5-ти тысяч руб."
удачи.