Можно ли выписаться из квартиры и прописаться в другом городе? могут ли его взять на работу?

Можно не сниматься с рег. учета, а сделать регистрацию по месту пребывания в вашем городе. заключить договор найма и по возвращению домой сделать перерасчет: представив билеты, договор найма и квитанции, подтверждающие оплату коммунальных услу по месту пребывания. сделать это можно в течение 5-ти дней со дня прибытия или посылать подтверждения о не проживании по месту жительства своим родителям, например, раз в три мес.
родители отнесут документы в ук, напишут заявление и им будут делать перерасчет. можно и самому, заявление и документы посылать заказным письмом сразу в ук и другим поставщикам ком. услуг (в общем туда, откуда приходят квитанции об оплате)
если кв. муниципальная, конечно сниматься с рег. учета не следует.
в собственности у родителей, потом регистрация только с их согласия. если в есть доли, можно и сняться с рег. учета . вновь зарегистрироваться можно самостоятельно. ничье согласие не потребуется.
отсутствие четкой информации о о форме собственности на квартиру, заставляет заниматься лишней писаниной и невозможность вам получить конкретный ответ.