Сколько можно находиться в Москве без регистрации и как доказать, что я здесь только 1 мес. а не 5

Теоретически, неограниченно долго. Вы вообще никому ничего доказывать не обязаны. Если вы почитаете закон о регистрации, то поймете, что можно хоть всю жизнь, а так не больше 3-х месяцев на одном месте, и при этом вас можно привлечь к ответственности за проживание на конкретной квартире, а не просто за нахождение на улице без регистрации. И по презумпции невиновности, это они, а не вы, должны доказывать, что вы проживаете больше 3-х месяцев.